1、界面稳定性问题分析

在VOF方法中，界面稳定性是多相流模拟的核心问题之一。界面捕捉的稳定性直接影响模拟结果的物理准确性，尤其在处理复杂界面形变、表面张力驱动流动以及高密度比流体时，数值误差可能导致非物理现象。以下是界面稳定性中两个主要问题的分析：数值扩散和表面张力伪速度。

1.1数值扩散

成因：

• 数值扩散是由于VOF方法中体积分数的对流项离散化误差引起的，尤其在使用低阶格式（如一阶迎风格式）时更为显著。
• 在界面捕捉过程中，界面形状会随着流动逐渐扩散，导致界面模糊，失去物理意义。
• 当网格分辨率不足时，界面重构（如PLIC方法）也可能引入额外的扩散误差。

影响：

• 界面厚度增加：数值扩散会导致界面从一个清晰的薄层变成模糊的过渡区域。
• 物理现象失真：例如在液滴动力学中，数值扩散可能导致液滴体积损失或形状畸变。
• 多相流模拟精度下降：尤其在小尺度问题（如微流体）中，数值扩散会显著影响界面动力学行为。

1.2表面张力“伪速度”（spurious currents）

成因：

• 表面张力的计算通常采用CSF（Continuum Surface Force）模型[1]，该模型将表面张力分布到界面附近的网格中。如图 1所示，界面的离散近似充当物理平滑界面上的扰动，在其附近产生虚假的毛细管流。其毛细管流的量级与网格尺度有关，见式。

图1 二维液滴的体积分数分布，黑色曲线为真实界面

从式中可以发现减小网格大小并不会减小这种误差，反而会加剧。减小这种误差涉及到精确的界面处曲率计算，对表面张力的显式处理等方法。已有的数值方法对这种时间步要求有对应的判据，在时间尺度上需要满足一定的要求，如下两式。

• 在离散化过程中，表面张力与压力梯度之间可能出现不平衡，导致非物理的伪速度。
• 网格分辨率不足或界面几何形状复杂时，伪速度问题尤为严重。

影响：

• 界面形状失真：伪速度会导致界面发生非物理的运动或振荡。
• 流体动力学行为异常：例如在高表面张力问题中，伪速度可能完全改变流体的流动模式。
• 模拟结果不稳定：伪速度的累积可能导致模拟发散，尤其在长时间模拟中。

2、典型案例分析

为了更直观地分析VOF界面捕捉的稳定性问题，以下通过两个经典案例进行探讨：静止状态由界面毛细力产生的波动（Standing Capillary Wave）和液滴周期形变（Periodic Deformation of a Droplet）。

2.1Standing Capillary Wave

背景：

• 静止状态由界面毛细力产生的波动是一个经典的表面张力驱动问题，用于测试界面捕捉算法在表面张力计算中的稳定性。
• 在理想情况下，Standing Capillary Wave的振幅会随着时间逐渐衰减，最终达到平衡状态。

测试设置：

• 初始界面为一个正弦波形，波长为(为(λ)，振幅为(a=λ/20)。设置模型见图 2。该案例的动能波动频率具有解析解，见下式。

由于粘性效应产生的动能衰减由下式决定[2]。

图2案例示意图

• 表面张力是唯一的驱动力，流体的粘性和密度均为常数。
• 目标是观察界面形状的演化以及振幅的衰减规律，如图 3。可以发现，网格对动能的衰减过程存在较大的影响，粗糙的网格甚至影响震荡的频率。

图3不同网格尺度下动能衰减过程与解析解对比

问题表现：

• 伪速度问题：如果表面张力计算不准确，界面会出现非物理的振荡。
• 数值扩散：界面逐渐模糊，波形失去清晰度。
• 能量耗散异常：数值误差可能导致波的衰减速度与理论值不符。

改进方法：

• 使用平衡力算法（Balanced-Force Algorithm）来精确平衡表面张力和压力梯度。
• 提高界面重构精度（如采用PLIC方法）以减少数值扩散。
• 采用自适应网格细化（AMR）技术，在界面附近提高分辨率。

2.2液滴周期形变（Periodic Deformation of a Droplet）

背景：

• 液滴周期形变是一个经典的对流测试问题，用于评估界面捕捉算法在复杂界面形变中的稳定性。
• 液滴在一个周期性变化的速度场中被拉伸和压缩，最终应恢复到初始形状。

测试设置：

• 初始液滴为一个的圆盘或球体，置于一个二维或三维的速度场中。如式，为一个三维状态下速度场随时间变化。该案例经由公式直接给定在网格的face中心，为准确的速度分布，后参与VOF方程计算。

• 速度场为周期性变化的涡流场，液滴在流动中经历拉伸、旋转和压缩。
• 目标是观察液滴在一个周期后是否能够恢复到初始形状。如图 4，在初始时刻为圆球，在一个周期后，如果是数值精度高的算法，应该保持较好的圆球状。

图 4 液滴界面变化过程

问题表现：

• 数值扩散：液滴在拉伸过程中，界面逐渐模糊，导致体积损失。
• 界面重构误差：在复杂形变过程中，界面重构算法可能无法准确捕捉液滴形状。
• 伪速度问题：表面张力计算误差可能导致液滴形状的非物理变化。

改进方法：

• 使用高阶插值方法（如PLIC）[3]来提高界面重构精度。
• 采用MULES算法限制体积分数的变化，确保界面清晰。
• 采用基于几何方法的界面捕捉算法，如OpenFOAM中的IsoAdvectors。
• 在高密度比和高粘度比条件下，使用Ghost Fluid Method（GFM）[5]平滑界面附近的物性跳跃。

总结

通过对VOF界面捕捉稳定性问题的分析，可以看出数值扩散和表面张力伪速度是影响界面稳定性的两大主要问题。在典型案例中，静态毛细波和液滴周期形变分别揭示了表面张力计算和界面重构的不足。为了解决这些问题，研究者提出了多种改进算法，如PLIC方法、平衡力算法和自适应网格细化技术。这些方法在提高界面捕捉精度和稳定性方面表现出色，但仍需在计算效率和适用性方面进一步优化。

未来的研究方向包括：

• 开发更高精度的界面重构算法。
• 利用机器学习技术优化界面捕捉过程。
• 结合GPU加速技术，提升大规模多相流模拟的效率。

参考文献

[1] S. S. Deshpande, L. Anumolu, and M. F. Trujillo, “Evaluating the performance of the two- phase flow solver interFoam,” Computational Science & Discovery.

[2] Lamb H 1932 Hydrodynamics (Cambridge: Cambridge University Press)

[3] https://github.com/daidezhi/interPlicFoam

[4] Roenby, Larsen, J. , Bredmose, B. E. , Jasak, H. , & Hrvoje. (2017). A new Volume-of-Fluid method in OpenFOAM. MARINE VI : proceedings of the VI International Conference on Computational Methods in Marine Engineering. International Center for Numerical Methods in Engineering.

[5] Fedkiw, R. P. ,  Aslam, T. ,  Merriman, B. , &  Osher, S. . (1999). A non-oscillatory-eulerian approach to interfaces in multi-material flows (the ghost fluid method). Journal of Computational Physics, 152.

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